03. Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

20 Μάιος 2026

Τροποποιημένο

21 Μάιος 2026

1 Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Πολυώνυμο ονομάζουμε την αλγεβρική παράσταση που αποτελείται από αθροίσματα μη όμοιων μονωνύμων. Πρόκειται για μια έκφραση κατασκευασμένη από μεταβλητές (αγνώστους) και σταθερές (αριθμούς), χρησιμοποιώντας αποκλειστικά τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και των μη αρνητικών ακεραίων δυνάμεων. Τα μονώνυμα που απαρτίζουν το πολυώνυμο ονομάζονται όροι του, ενώ οι αριθμητικοί παράγοντες αυτών των μονωνύμων είναι οι συντελεστές του πολυωνύμου.

1.1 Βασικοί Ορισμοί και Έννοιες

  • Βαθμός Πολυωνύμου: Ως βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές ορίζεται ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του.
  • Σταθερό Πολυώνυμο: Κάθε αριθμός εκτός του μηδενός θεωρείται σταθερό πολυώνυμο και έχει βαθμό μηδέν.
  • Μηδενικό Πολυώνυμο: Ο αριθμός 0 ονομάζεται μηδενικό πολυώνυμο και είναι το μόνο που δεν έχει βαθμό.
  • Διάταξη: Ένα πολυώνυμο γράφεται συνήθως κατά τις φθίνουσες δυνάμεις της μεταβλητής του, δηλαδή από τον όρο με τον μεγαλύτερο εκθέτη προς αυτόν με τον μικρότερο.
  • Πλήρες και Ελλιπές: Ένα πολυώνυμο λέγεται πλήρες όταν περιέχει όλες τις δυνάμεις της μεταβλητής από τον μέγιστο βαθμό έως το μηδέν, ενώ σε αντίθετη περίπτωση ονομάζεται ελλιπές.
  • Ίσα Πολυώνυμα: Δύο πολυώνυμα είναι ίσα αν έχουν τον ίδιο βαθμό και οι συντελεστές των αντίστοιχων δυνάμεων είναι ίσοι.

1.1.1 Παραδείγματα Πολυωνύμων

  1. Η παράσταση \(3x^2 - 7x - 12\) είναι ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού ως προς \(x\).
  2. Η παράσταση \(2x^2y - 5xy + y^2 + \frac{1}{3}\) είναι ένα πολυώνυμο ως προς \(x\) και \(y\).
  3. Η έκφραση \(x^2 - \dfrac{x}{4} + 7\) αποτελεί πολυώνυμο, καθώς η διαίρεση με σταθερά επιτρέπεται.
  4. Το \(P(x) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 + 3x + 10\) είναι ένα πολυώνυμο γραμμένο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του \(x\).
  5. Η παράσταση \(y^3 - 3xy^2 + 2x^3\) είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού ως προς \(x\) και \(y\).

1.1.2 Παραδείγματα Παραστάσεων που ΔΕΝ είναι Πολυώνυμα

  1. Η παράσταση \(x^2 - \dfrac{4}{x} + 7x^{\dfrac{3}{2}}\) δεν είναι πολυώνυμο, διότι περιέχει διαίρεση με τη μεταβλητή \(x\) και εκθέτη που δεν είναι φυσικός αριθμός.
  2. Η παράσταση \(4x^3 - 5x^2 + \dfrac{2}{x} - 1\) δεν είναι πολυώνυμο, επειδή ο όρος \(\dfrac{2}{x}\) δεν είναι μονώνυμο.
  3. Εκφράσεις που περιέχουν μεταβλητή ως εκθέτη, όπως η \((5 + y)^x\), δεν θεωρούνται πολυώνυμα.
  4. Οποιαδήποτε αλγεβρική παράσταση περιέχει αρνητικούς εκθέτες στις μεταβλητές της δεν είναι ακέραια και επομένως δεν είναι πολυώνυμο.


Η αναγωγή ομοίων όρων είναι η διαδικασία με την οποία μια αλγεβρική παράσταση γράφεται με την απλούστερη δυνατή μορφή της. Η διαδικασία αυτή συνίσταται στην πρόσθεση ή αφαίρεση των ομοίων όρων (μονωνύμων) μιας παράστασης.

1.2 Ορισμός και Βασικές Έννοιες

  • Όμοια μονώνυμα: Ονομάζονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος, δηλαδή τις ίδιες μεταβλητές υψωμένες στους ίδιους εκθέτες.
  • Μηχανισμός αναγωγής: Η αναγωγή βασίζεται στην επιμεριστική ιδιότητα. Για να προσθέσουμε όμοια μονώνυμα, προσθέτουμε τους συντελεστές τους και διατηρούμε το ίδιο κύριο μέρος.
  • Περιορισμός: Προσθέσεις και αφαιρέσεις επιτρέπονται μόνο μεταξύ ομοίων μονωνύμων. Το άθροισμα ανόμοιων μονωνύμων δεν μπορεί να απλοποιηθεί σε έναν όρο και παράγει ένα πολυώνυμο.

1.2.1 Παραδείγματα Αναγωγής Ομοίων Όρων

1. Απλά παραδείγματα με μία μεταβλητή:
* \(3\alpha + 5\alpha = (3 + 5)\alpha = 8\alpha\)
* \(2x - 4x + 5x = (2 - 4 + 5)x = 3x\)
* \(-5x^2 + 2x^2 = (-5 + 2)x^2 = -3x^2\)
* \(7x - 8x - x = 7x - 9x = -2x\) (σημειώνεται ότι το \(-x\) εννοείται ως \(-1x\))

2. Παραδείγματα με πολλές μεταβλητές:
* \(-7x^2y + 4x^2y = (-7 + 4)x^2y = -3x^2y\)
* \(4\alpha x^2 - 6\alpha x^2 + \alpha x^2 = (4 - 6 + 1)\alpha x^2 = -\alpha x^2\)
* \(0,25\alpha\beta - 0,35\alpha\beta + 0,5\alpha\beta = 0,4\alpha\beta\)

3. Αναγωγή μέσα σε πολυώνυμα (ομαδοποίηση):
* Στην παράσταση \(3\alpha - 2\beta - 2\alpha + \beta\), ομαδοποιούμε τα \(\alpha\) με τα \(\alpha\) και τα \(\beta\) με τα \(\beta\): \((3\alpha - 2\alpha) + (-2\beta + \beta) = 1\alpha - 1\beta = \alpha - \beta\)
* Στο πολυώνυμο \(A = -2xy^2 + y^3 + 2x^3 - xy^2\), οι όροι \(-2xy^2\) και \(-xy^2\) είναι όμοιοι: \(A = -3xy^2 + y^3 + 2x^3\)

4. Σύνθετη αναγωγή μετά από πράξεις:
* \((2x^2 + 2x - 3) + (9x^2 - 3x + 2) + (4x^2 + 4x - 5) =\) \((2 + 9 + 4)x^2 + (2 - 3 + 4)x + (-3 + 2 - 5) = 15x^2 + 3x - 6\)
* \((-5x^2 + 4x - 3) - (x^2 - 2x + 1) + (3x^2 + x) = -3x^2 + 7x - 4\)


Η πρόσθεση και η αφαίρεση πολυωνύμων αποτελούν θεμελιώδεις πράξεις της άλγεβρας, οι οποίες βασίζονται στην έννοια της αναγωγής ομοίων όρων. Η διαδικασία αυτή επιτρέπει την απλοποίηση σύνθετων αλγεβρικών παραστάσεων συνδυάζοντας μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος.

1.3 Ορισμοί και Μηχανισμός Πράξεων

  • Πρόσθεση Πολυωνύμων: Για να προσθέσουμε δύο ή περισσότερα πολυώνυμα, χρησιμοποιούμε την προσεταιριστική ιδιότητα, τοποθετώντας όλους τους όρους τους σε ένα κοινό άθροισμα και στη συνέχεια συνδυάζουμε τους όμοιους όρους. Ο συντελεστής κάθε όρου του νέου πολυωνύμου είναι το άθροισμα των συντελεστών των αντίστοιχων δυνάμεων της μεταβλητής.
  • Αφαίρεση Πολυωνύμων: Η αφαίρεση ενός πολυωνύμου επιτυγχάνεται προσθέτοντας στο πρώτο πολυώνυμο το αντίθετο του δεύτερου. Στην πράξη, αυτό σημαίνει ότι αλλάζουμε τα πρόσημα όλων των όρων του πολυωνύμου που βρίσκεται μέσα στην παρένθεση με το αρνητικό πρόσημο μπροστά.
  • Βαθμός Αποτελέσματος: Ο βαθμός του πολυωνύμου που προκύπτει από την πρόσθεση ή την αφαίρεση είναι ίσος ή μικρότερος από τον βαθμό του πολυωνύμου με τον μεγαλύτερο βαθμό. Για παράδειγμα, αν προσθέσουμε ένα πολυώνυμο 2ου βαθμού και ένα 3ου βαθμού, το αποτέλεσμα θα είναι 3ου βαθμού, εκτός αν ο μεγιστοβάθμιος όρος απαλειφθεί.


1.3.1 Παραδείγματα Πρόσθεσης και Αφαίρεσης

1. Απλή Αφαίρεση με αναγωγή: \((2x^3 - x) - (x^3 - 5x^2 + x - 1)\) \(= 2x^3 - x - x^3 + 5x^2 - x + 1\) (αλλαγή προσήμων λόγω του πλην) \(= x^3 + 5x^2 - 2x + 1\).

2. Πρόσθεση με δεκαδικούς συντελεστές: \((0,4x^3 + 2,3x^2) + (3,6x^3 - 0,3x^2 + 4)\) \(= 0,4x^3 + 2,3x^2 + 3,6x^3 - 0,3x^2 + 4\) \(= 4x^3 + 2x^2 + 4\).

3. Σύνθετες πράξεις μεταξύ πολυωνύμων: Έστω \(A(x) = 2x^3 - x^2 + x - 4\) και \(B(x) = -3x^3 + 5x - 2\). Για την αφαίρεση \(A(x) - B(x)\): \((2x^3 - x^2 + x - 4) - (-3x^3 + 5x - 2)\) \(= 2x^3 - x^2 + x - 4 + 3x^3 - 5x + 2\) \(= 5x^3 - x^2 - 4x - 2\).

4. Χρήση επιμεριστικής ιδιότητας πριν την αναγωγή: \(3(x^2 - 2x + 1) - 2(x^2 + x)\) \(= 3x^2 - 6x + 3 - 2x^2 - 2x\) \(= x^2 - 8x + 3\) (πληροφορία από τη γενική θεωρία για την επιμεριστική και την αναγωγή).

1.3.2 Σημαντικές Παρατηρήσεις

  • Όμοιοι όροι είναι εκείνοι που έχουν ακριβώς τις ίδιες μεταβλητές με τους ίδιους εκθέτες.
  • Προσθέσεις και αφαιρέσεις επιτρέπονται μόνο μεταξύ ομοίων όρων. Αν οι όροι είναι ανόμοιοι, η παράσταση δεν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω και παραμένει ως πολυώνυμο.
  • Κατά τη γραφή του τελικού αποτελέσματος, είναι προτιμότερο να διατάσσουμε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις της μεταβλητής (από τον μεγαλύτερο εκθέτη προς τον μικρότερο).

1.4 Ασκήσεις

Συμβουλή

Η γραφή ενός πολυωνύμου κατά τις φθίνουσες δυνάμεις της μεταβλητής του σημαίνει ότι διατάσσουμε τους όρους του ξεκινώντας από εκείνον με τον μεγαλύτερο εκθέτη και καταλήγοντας σε εκείνον με τον μικρότερο.

  1. Να γράψετε το πολυώνυμο \(P(x) = 8x - 4x^2 + 2x^5 -6 + 2x^3-x^4\) κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του \(x\).

  2. Να διατάξετε το πολυώνυμο \(A(x) = -2x^2 + 8 + 2x^4 + 7x-3x^3\) κατά τις φθίνουσες δυνάμεις της μεταβλητής του.

  3. Δίνεται η παράσταση \(B(x) = -x^3 - 2x + x^2 - 1\). Να γραφτεί ως πολυώνυμο διατεταγμένο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του \(x\).

  4. Δίνεται το πολυώνυμο \(A = -2x^2y + y^2 - 3x^4 - 5xy^2\). Να βρείτε την αριθμητική τιμή του για \(x = 2\) και \(y = -1\).

  5. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παρακάτω παραστάσεων για τις δοθείσες τιμές:

α) \(-2xy^3 + x^2y - 4\) για \(x = -2\) και \(y = 1\).

β) \(\dfrac{2}{3}x\omega^2 + \dfrac{1}{2}\omega^3\) για \(x = 3\) και \(\omega = -2\).

  • Λύση:

    • Για την (α): \(-2(-2) \cdot 1^3 + (-2)^2 \cdot 1 - 4 = 4 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 4 = 4 + 4 - 4 = \mathbf{4}\).

    • Για την (β): \(\dfrac{2}{3} \cdot 3 \cdot (-2)^2 + \dfrac{1}{2}(-2)^3 = 2 \cdot 4 + \frac{1}{2}(-8) = 8 - 4 = \mathbf{4}\).

  1. Για το πολυώνυμο \(P(x) = 2x^3 + 2x^2 - 5x + 7\), να αποδείξετε ότι

  • \(2P(-2)=3P(1)\)

  • \(P(4)=-(10P(-3)-7)\)

  • \(P(2)=-\dfrac{3}{2}P(-3)\)

  • Για \(x = -2\): \(P(-2) = 2(-2)^3 + 2(-2)^2 - 5(-2) + 7\) \(P(-2) = 2(-8) + 2(4) + 10 + 7\) = ……………..

  • Για \(x = 2\): \(P(2) = 2(2)^3 + 2(2)^2 - 5(2) + 7\) = …………………

  • Για \(x = 1\): \(P(1) = 2(1)^3 + 2(1)^2 - 5(1) + 7\) = ………………..

  • Για \(x = -3\): \(P(-3) = 2(-3)^3 + 2(-3)^2 - 5(-3) + 7\) = ……………..

  • Για \(x = 4\): \(P(4) = 2(4)^3 + 2(4)^2 - 5(4) + 7\) = …………………

Συμβουλή

Σημειώνεται ότι κατά τους υπολογισμούς ακολουθείται η προτεραιότητα των πράξεων, όπου προηγούνται οι δυνάμεις, ακολουθούν οι πολλαπλασιασμοί και τέλος οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις.

Σημείωση: Κατά την αντικατάσταση τιμών, είναι σημαντικό να χρησιμοποιούνται παρενθέσεις για τους αρνητικούς αριθμούς, ώστε να αποφεύγονται λάθη στα πρόσημα.

  1. Να εκτελέσετε τις πράξεις στην παράσταση: \((8x^3 -2 x^2) - (x^3 - 5x^2 + 6x - 7)\).

  2. Να απλοποιήσετε την παράσταση: \(-3x^2y - (2xy^2 - yx^2) + (3xy^2 - xy^3)\).

  3. Να βρείτε το αποτέλεσμα της αφαίρεσης: \((4\alpha^2 - 3\alpha\beta) - (\beta^2 + 4\alpha\beta) - (\alpha^2 + \beta^2)\).

  4. Να κάνετε τις πράξεις, προσέχοντας τις παρενθέσεις και τις αγκύλες: \(2κ^2 - [6κ - 3 - (κ^2 + 7κ)]\).

  5. Να υπολογίσετε τη διαφορά των παρακάτω πολυωνύμων με κλασματικούς συντελεστές: \((\dfrac{1}{3}x^2 - \dfrac{3}{4}x + 1) - (\dfrac{1}{6}x + \dfrac{4}{3}x^2 - \dfrac{1}{3})\).

  6. Να εκτελέσετε την πρόσθεση πολυωνύμων με δεκαδικούς συντελεστές: \((0,8λ^3 + 1,8λ^2) + (2,1λ^3 - 2,4λ^2 + 5)\).

  7. Δίνονται τα πολυώνυμα \(A(z) = 5z^3 - 2z^2 + z - 8\) και \(B(z) = -7z^3 + 3z - 2\). Να βρείτε το πολυώνυμο \(A(z) - B(z)\).

  8. Με τα πολυώνυμα \(A(z)\) και \(Β(z)\) της προηγούμενης άσκησης και με το \(\Gamma(z) = 6z^2 - 5z + 8\), να υπολογίσετε το \(A(z) + \Gamma(z)\) και το \(2Α(z)+Β(z)-2Γ(z)\).

  9. Να βρείτε το πολυώνυμο που προκύπτει από την πράξη: \(\Gamma(Z) - [A(Z) + 2B(z)]\), χρησιμοποιώντας τα \(A, B, \Gamma\) των ασκήσεων 13 και 14.

  10. Αν το πολυώνυμο \(P(x) = (-7x^2 + 3x - 3) - (2x^2 - 4x + 7) + (5x^2 - x)\) είναι ίσο με το \(Q(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma\), να βρείτε τις τιμές των \(\alpha, \beta, \gamma\).

  11. Ποιο πολυώνυμο πρέπει να προσθέσουμε στο \(2x^2 + 5x + 7\) για να βρούμε ως άθροισμα το \(8x^2 + 4x - 5\);.

  12. Μια ομάδα μπάσκετ έδωσε 9 αγώνες. Αν νίκησε σε \(x\) αγώνες (2 βαθμοί ανά νίκη) και έχασε στους υπόλοιπους (1 βαθμός ανά ήττα), να δείξετε ότι η αλγεβρική παράσταση των συνολικών βαθμών της είναι το πολυώνυμο \(P = x + 9\).

  13. Η επιφάνεια ενός σταδίου αποτελείται από ένα ορθογώνιο μήκους 80+x m και πλάτους \(2x\) και δύο ημικυκλικούς δίσκους ακτίνας \(x\) προσαρτημένους στο πλάτος του ορθογωνίου. Να βρείτε το πολυώνυμο που εκφράζει την περίμετρο \(Π\) και το εμβαδόν του \(E\).

  14. Ένα ορθογώνιο οικόπεδο έχει πλάτος \(x\) και μήκος \(x + 5\). Αν το μήκος του ελαττωθεί κατά 3m και το πλάτος του κατά 1m, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του θα μειωθεί κατά το πολυώνυμο \(4x + 2\) τετραγωνικά μέτρα.

  15. Να υπολογιστεί το άθροισμα των πολυωνύμων: \(P(x) = 3x^2 - 5x + 2\) και \(Q(x) = -x^2 + 4x - 7\).

    1. Γράφουμε το άθροισμα: \((3x^2 - 5x + 2) + (-x^2 + 4x - 7)\).
    1. Καταργούμε τις παρενθέσεις: \(3x^2 - 5x + 2 - x^2 + 4x - 7\).
    1. Ομαδοποιούμε τους όμοιους όρους: \((3x^2 - x^2) + (-5x + 4x) + (2 - 7)\).
    1. Εκτελούμε τις πράξεις: \(2x^2 - x - 5\).

  1. Να υπολογιστεί η διαφορά των πολυωνύμων: \(P(x) = 4x^3 - 2x + 1\) και \(Q(x) = x^3 + 5x - 3\).

  2. Να βρεθεί το αποτέλεσμα της πράξης: \((2x^2 + 3x - 5) + (x^2 - 3x + 5)\).

  3. Να υπολογιστεί η διαφορά: \((5x^2 - 4x + 8) - (2x^2 - 4x + 3)\).

  4. Να απλοποιηθεί η παράσταση: \((x^3 - 2x^2 + 1) + (-x^3 + 2x^2 - 1)\).

  5. Να βρεθεί το άθροισμα: \((7x^4 - 3x^2 + x) + (2x^2 - 4x - 5)\).

  6. Να αφαιρεθεί το πολυώνυμο \(Q(x) = 6x - 4\) από το \(P(x) = 8x + 2\).

  7. Να υπολογιστεί το αποτέλεσμα της πράξης: \((10x^2 - 5x) - (3x^2 + 2x) + x^2\).

  8. Να βρεθεί το άθροισμα των πολυωνύμων: \(P(x) = x^3 + 1\) και \(Q(x) = x^2 - 1\).

  9. Να εκτελεστεί η αφαίρεση: \((0.5x^2 + 1.2x) - (0.2x^2 - 0.8x)\).

  10. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου δίνεται από το πολυώνυμο \(A(x) = 5x^2 + 3x - 2\). Αν αφαιρέσουμε ένα τετράγωνο με εμβαδόν \(B(x) = 2x^2 - x + 1\), ποιο είναι το εναπομείναν εμβαδόν;

  11. Ένας έμπορος έχει δύο αποθήκες με εμπορεύματα. Η ποσότητα των προϊόντων στην πρώτη αποθήκη εκφράζεται από το πολυώνυμο \(P(x) = 10x + 50\) και στη δεύτερη από το \(Q(x) = 5x + 30\). Ποια είναι η συνολική ποσότητα των προϊόντων στις δύο αποθήκες;

  12. Ένα δρομέας τρέχει σε μια διαδρομή. Την πρώτη ώρα καλύπτει \(D_1(t) = 3t^2 + 2t\) χιλιόμετρα και τη δεύτερη ώρα καλύπτει \(D_2(t) = 2t^2 - t\) χιλιόμετρα. Πόση είναι η συνολική απόσταση που διένυσε ο δρομέας;

  13. Το συνολικό κέρδος μιας εταιρείας είναι \(K(x) = 20x^2 + 500x\). Τα έξοδα της εταιρείας είναι \(E(x) = 15x^2 + 200x\). Ποιο είναι το καθαρό κέρδος (Κέρδος - Έξοδα);

  14. Δύο πολυώνυμα έχουν άθροισμα \(S(x) = 6x^2 - 4x + 10\). Αν το ένα πολυώνυμο είναι \(P(x) = 2x^2 + x - 3\), ποιο είναι το άλλο πολυώνυμο \(Q(x)\);

  15. Να υπολογιστεί το άθροισμα των πολυωνύμων δύο μεταβλητών: \(P(x, y) = 3x^2y - 5xy^2 + 2\) και \(Q(x, y) = -x^2y + 4xy^2 - 7\).

    1. Γράφουμε το άθροισμα: \((3x^2y - 5xy^2 + 2) + (-x^2y + 4xy^2 - 7)\).
    1. Καταργούμε τις παρενθέσεις: \(3x^2y - 5xy^2 + 2 - x^2y + 4xy^2 - 7\).
    1. Ομαδοποιούμε τους όμοιους όρους (ίδιο μέρος μεταβλητών): \((3x^2y - x^2y) + (-5xy^2 + 4xy^2) + (2 - 7)\).
    1. Εκτελούμε τις πράξεις στους συντελεστές: \((3-1)x^2y + (-5+4)xy^2 - 5 = 2x^2y - xy^2 - 5\).

  1. Να υπολογιστεί η διαφορά των πολυωνύμων: \(P(x, y, z) = 4xy + 3z - 2\) και \(Q(x, y, z) = xy - z + 5\).

  2. Να βρεθεί το αποτέλεσμα της πράξης: \((x^2 - 2xy + y^2) + (3x^2 + 5xy - 2y^2)\).

  3. Να υπολογιστεί η διαφορά: \((10aβ^2 - 3a^2β + 5) - (2aβ^2 + 4a^2β - 1)\).

  4. Να απλοποιηθεί η παράσταση: \((x^2 + y^2 - z^2) - (x^2 - y^2 + z^2) + (2y^2 - 2z^2)\).

  5. Το εμβαδόν της βάσης ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι \(E_1 = 3xy + 2x\) και η επιφάνεια του καλύμματος είναι \(E_2 = xy + 5x\). Ποιο είναι το άθροισμα των δύο επιφανειών;

  6. Η περίμετρος ενός ορθογωνίου με πλευρές \(x+y\) και \(x-y\) είναι \(P_1\). Αν προσθέσουμε ένα άλλο ορθώνιο με πλευρές \(2x\) και \(3y\), ποια είναι η συνολική περίμετρος; (Σημείωση: Περίμετρος ορθογωνίου = \(2 \cdot (\text{μήκος} + \text{πλάτος})\)).

  7. Ένα πολυώνυμο \(P(x,y)\) αντιπροσωπεύει το συνολικό κόστος υλικών: \(P(x, y) = 10x^2y + 5xy^2\). Αν αφαιρεθεί ένα μέρος του κόστους \(Q(x, y) = 3x^2y - 2xy^2\), ποιο είναι το εναπομείναν κόστος;

  8. Να βρεθεί το άθροισμα των πολυωνύμων: \(A = a^3 + β^3 + γ^3 - 3aβγ\) και \(B = -a^3 - β^3 - γ^3 + 5aβγ\).

  9. Να υπολογιστεί η παράσταση: \((x^2y - xy^2 + x) - (x^2y + xy^2 - x) + (2xy^2)\).

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

ΣυμβουλήΕνέργεια
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!